Cuestiones y Problemas Resueltos
1.
Suponiendo que el Sol estuviese fijo en el espacio y que sólo
tuviera un planeta, razona cuál es la dirección y sentido de la
aceleración de ese planeta.
S olución:
En el supuesto de que el Sol esté fijo en el espacio y que sólo
tuviera un planeta, la única interacción entre ellos sería la
gravitatoria. La dirección de esta fuerza coincide con la recta que
une el Sol con el planeta y su sentido es de atracción. Además su
módulo es constante. Por tanto, el planeta estará animado de un
movimiento circular uniforme alrededor del Sol, siendo su aceleración
un vector cuya dirección es el radio de la órbita y su sentido hacia
el centro, aceleración centrípeta.
2.
La masa de la Luna es aproximadamente 7,36 · 1022 kg y su radio
1,74 · 106 m. Calcula:
a.
El valor de la distancia que recorrería una partícula, en un
segundo de caída libre hacia la Luna, si se abandona en un punto
próximo a su superficie.
b.
En la superficie terrestre, al colocar un cuerpo en un platillo
de una balanza y en el otro, pesas por valor de 23,25 g, se
consigue el equilibrio. ¿Qué pesas tendríamos que utilizar para
equilibrar la balanza, con el mismo cuerpo, en la superficie de
la Luna?
G 6,67 · 10–11 N m2 kg–2

Solución
a.
Para calcular la distancia que recorrería una partícula en caída
libre hacia la Luna es preciso conocer la aceleración de la
gravedad lunar. Esta aceleración es, por definición, la intensidad
del campo gravitatorio de la Luna.
La intensidad del campo gravitatorio de cualquier planeta viene dada
por:
siendo M la masa y R el radio del planeta.
Para el caso de la Luna tenemos:

*
Para hallar la distancia recorrida aplicamos la ecuación del
movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado
y y0 + v0 t – g t2
En el supuesto de que la partícula parte del reposo ( v0 0) el
desplazamiento de la partícula será:
y – y0 g t2 0,5 ·1,62 m/s2 · (1 s)2 0,81 m
b.
Habrá que utilizar las mismas pesas. La masa del cuerpo es la
misma en la Tierra que en la Luna. La balanza mide la masa de los
cuerpos.
Sea m la masa del cuerpo y mT la masa de las pesas utilizadas en la
Tierra; la balanza se equilibra cuando el peso de los dos platillos es
el mismo:
m . g mT g ; m mT 23,25 g
Si ahora pesamos el mismo cuerpo en la Luna y las pesas utilizadas son
mL, se establecerá de nuevo el equilibrio cuando los dos platillos
pesen lo mismo. Es decir:
m gL mL gL ; m mL
Como la masa del cuerpo no ha variado, se debe cumplir que:
mT mL 23,25 g
3.
En un movimiento pendular, la longitud del hilo es de 1 m, la masa
2 kg y la amplitud 30 º. Calcula la energía cinética del péndulo
al pasar por la posición de equilibrio.
S olución:
El péndulo oscila en el campo gravitatorio, que es conservativo. Por
tanto, si suponemos que el rozamiento es despreciable, la energía
mecánica permanece constante. En consecuencia, la energía cinética al
pasar por la posición de equilibrio debe coincidir con la disminución
de la energía potencial que tenía al principio.
(Ec + Ep) 0
E c |Ep| m g h
*
De la figura se desprende que:
h l – x l – l · cos 30º 1 – 0,86 0,14 m
*
Y la energía pedida será:
Ec 2 kg · 9,8 m/s2 · 0,14 m 2,7 J
4.
Si la densidad media de la Tierra es 5,5 g cm–3.
a.
Calcula el valor de su radio sabiendo que g 9,8 m/s2.
b.
Calcula el valor de g a una altura de la superficie de la
Tierra igual a dicho radio.
G 6,7·10–11 N m2 kg–2
Solución
a.
El radio de la Tierra lo podemos calcular a partir de los
conceptos de densidad de un cuerpo e intensidad de campo
gravitatorio. Para ello recordamos que el campo terrestre es:

La densidad de un cuerpo viene dada por:

El volumen de una esfera es:
V ·  · R3
Utilizando las relaciones anteriores tenemos:

De donde:

b.
El campo gravitatorio terrestre a una cierta altura sobre la
superficie terrestre vale:

Para h RT

4.
La masa de la Luna es aproximadamente 6,5 · 1023 kg y su radio
16 · 105 m. ¿Cuál será el periodo de oscilación en la superficie
lunar de un péndulo cuyo periodo en la Tierra es de un segundo?
Datos: G 6,67·10–11 N m2 kg–2
Solución: El periodo de oscilación de un péndulo depende del valor de
la gravedad. Por tanto:
En la Tierra:

En la Luna:

Siendo  la longitud del péndulo.
Dividiendo entre sí las dos expresiones anteriores obtenemos una
relación entre el periodo del péndulo lunar y el periodo del péndulo
terrestre:

El valor de la gravedad en la Luna es:

Sustituyendo este valor en la relación anterior tenemos:

4.
La masa del planeta Júpiter es aproximadamente 318 veces la de la
Tierra y su diámetro, 11 veces mayor. ¿Cuál será el peso en este
planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 100 kp?
Solución:
La intensidad del campo gravitatorio de del planeta Júpiter es:

Hay que tener presente que el peso de un cuerpo en kilopondios
coincide numéricamente con el valor de su masa en kg.
El peso del astronauta en Júpiter será:
P m gJ 100 kg · 2,62 · gT 262 kp 2 570 N
4.
Determina el valor g de la gravedad a una distancia h sobre la
superficie de la Tierra, supuesta esférica y homogénea, siendo go
el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la
Tierra.
Solución:
El valor de la gravedad para puntos situados en la superficie de la
Tierra, supuesta ésta esférica y homogénea, es:

Y para puntos situados a una altura h sobre la superficie de la Tierra
tomará el valor:

4.
Sobre la superficie lunar se lanza, verticalmente hacia arriba, un
cuerpo con una velocidad inicial vo 175 m/s. Calcula:
a.
Altura que alcanzará.
b.
Tiempo invertido en alcanzarla.
c.
Energía potencial en el punto más alto de la trayectoria si la
masa del cuerpo es m  1 kg.
ML 6,7·1022 kg ; RL 16·105 m ; G 6,7·10–11 N m2 kg–2

Solución:
El valor del campo gravitatorio en la superficie de cualquier planeta
viene dado por:

Para el caso de la Luna será:

a.
Al tratarse de un movimiento uniformemente acelerado, las
ecuaciones que determinan el movimiento del cuerpo, tomando la
superficie de la Luna como sistema de referencia, son:

El cuerpo alcanzará la altura máxima cuando v 0:
0 175 m/s – 1,75 m/s2 · t ; t 100 s
Y la altura alcanzada será:
h 175 m/s · 100 s – · 1,75 m/s2 · (100 s)2 8.750 m.
b.
Ya hemos visto que el tiempo empleado en alcanzar la altura máxima
es de 100 s.
c.
Para alturas, h, pequeñas comparadas con el radio de la Luna,
podemos utilizar para la energía potencial gravitatoria la
expresión aproximada:
Ep m g h 1 kg · 1,75 m/s2 · 8 750 m 15 000 J.
4.
Para escalar una montaña se puede tomar un camino de pendiente
suave y otro de pendiente elevada. ¿Es distinto el trabajo
realizado sobre el cuerpo por la gravedad según el camino elegido?
¿Por qué uno de los dos caminos es más fácil que el otro?
Solución:
El campo gravitatorio es conservativo, por tanto, el trabajo
realizado, entre dos puntos A y B, por la gravedad es independiente
del camino seguido para ir desde A hasta B,
Este trabajo depende solamente de la diferencia de los valores que
toma la energía potencial gravitatoria en los puntos A y B.
Ahora bien, el esfuerzo que tenemos que hacer nosotros para subir por
una pendiente suave es menor que si subimos por una pendiente elevada,
ya que la componente de nuestro peso en la dirección del movimiento,
que es la única que realiza el trabajo, es menor en el primer caso que
en el segundo. Sin embargo, a pesar de que se realiza menos esfuerzo
en la pendiente suave, el desplazamiento es mayor, de manera que el
trabajo realizado es el mismo en los dos casos.
4.
¿A qué altura sobre el suelo hay que colocar una masa de 12 kg
para que tenga la misma energía potencial que otra masa de 1000
Tm, colocada a 10 m sobre el suelo? Datos: RT 6 000 km.
Solución:
La energía potencial asociada al sistema formado por la Tierra y una
masa m situada a una distancia d del centro de la Tierra viene dada
por

Esta energía vale:
*
Para puntos situados en la superficie terrestre:

*
Para puntos situados a R + h:

Si restamos las energías anteriores obtendremos la energía potencial,
respecto de la superficie terrestre, de los puntos situados a una
altura h:
E(h) E(R + h) – E(R)

Aplicamos esta expresión a los dos casos del problema e igualamos:

Simplificando se obtiene:

Despejando h2 tenemos:

Si h1 10 m ; m1 1 000 Tm 106 kg ; m2 12 kg tenemos:


4.
Escribe la energía potencial gravitatoria y la energía potencial
elástica de la masa m de la figura que cuelga de un resorte de
constante k (siendo x la separación de la masa de su posición de
equilibrio hacia el suelo y h la altura de la posición de
equilibrio desde el suelo). Toma como origen de energía potencial
gravitatoria el suelo.
Solución:
La energía potencial elástica viene dada por
E k x2
Siendo k la constante del resorte, y x la separación de la masa de su
posición de equilibrio.
La energía potencial gravitatoria respecto del suelo es
E m g (h – x)
12.
Una masa de 250 g que parte del reposo desde una posición situada
a 0,5 m de altura sobre el suelo, se deja caer deslizando por un
plano inclinado, llegando al suelo con una velocidad de 2 m/s.
¿Cuál ha sido el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad y
cuál el efectuado por la fuerza de rozamiento?
Solución:
*
En la posición inicial la masa tiene energía potencial
gravitatoria que, referida al suelo, vale:
Ep m g h 0,25 kg · 9,8 m/s2 · 0,5 m 1,225 J
*
Cuando llega al suelo la masa solamente posee energía cinética:
Ec m v2 · 0,25 kg · 4 m2/s2 0,5 J
Esta energía corresponde al trabajo realizado por la fuerza de la
gravedad, que es la causante del deslizamiento de la masa por el plano
inclinado.
*
El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es igual a la
disminución de la energía mecánica:
Wr Ef – Eo Ec – Ep 0,5 J – 1,225 J –0,725 J
12.
L a Luna está a 3,9 · 105 km del centro de la Tierra. La
masa de la Luna es de 7,3 · 1022 kg y la masa de la Tierra es de
6 · 1024 kg. ¿A qué distancia del centro de la Tierra las fuerzas
gravitatorias que ejercen el planeta y su satélite sobre un objeto
son iguales en intensidad y de sentido opuesto?
Solución:
Supongamos que el punto que se pide es el punto P de la figura. Si
llamamos x a la distancia que existe desde él al centro de la Tierra,
para una masa m colocada en dicho punto se debe cumplir que:

Siendo d la distancia entre la Tierra y la Luna.
Simplificando queda:

De donde:

14.
Un satélite artificial de la Tierra, de masa 10 Tm, tiene una
velocidad de 4,2 km/s en una determinada órbita circular. Halla:
a.
El radio de la órbita.
b.
El trabajo necesario para colocarlo en la órbita.
c.
Su periodo.
d.
El trabajo realizado por el peso del satélite en una vuelta.
G 6,67 · 10–11 N m2 kg–2; MT  5,98 · 1024 kg; RT 6 370 km.
Solución
S i un satélite describe una órbita circular estable estará
sometido a una fuerza centrípeta originada por la atracción
gravitatoria:
Fc Fg 
siendo Ro el radio de la órbita y m la masa del satélite.
De la expresión anterior se deduce que el radio de la órbita vale:

a.
Para colocar en órbita el satélite hay que vencer el campo
gravitatorio terrestre. Como este campo es conservativo, el
trabajo realizado viene dado por la variación de la energía
potencial gravitatoria:

siendo r1 el radio de la Tierra y r2 el radio orbital

6,67·10–11 N m2 kg–2 · 5,98·1024 kg · 104 kg · 4,46·1011 J
Esta variación de energía potencial es positiva porque el trabajo ha
sido realizado por una fuerza exterior al campo.
b.
Recibe el nombre de periodo de revolución el tiempo constante que
tarda el satélite en describir la órbita. Para calcularlo
dividimos la longitud de la órbita entre la velocidad con la que
la describe:

c.
El trabajo realizado por el peso en una vuelta es nulo. En efecto,
el peso es una fuerza conservativa, por tanto, el trabajo
realizado a lo largo de una línea cerrada es cero.
14.
Determina el valor de la gravedad en un punto situado a una altura
de 130 km sobre la superficie terrestre.
RT 6 370 km; Gravedad al nivel del mar, g0  9,80 ms–2
Solución:
El valor de la gravedad disminuye a medida que nos alejamos del centro
de la Tierra. El valor de la gravedad en un punto del espacio es la
intensidad del campo gravitatorio terrestre en ese punto.
Sabemos que la intensidad del campo gravitatorio de una masa
cualquiera es:

siendo r la distancia que hay desde la masa m hasta el punto en donde
queremos hallar el campo.
*
En el caso de la Tierra será:
Al nivel del mar
A una altura h.
Relacionando las dos expresiones tenemos que:

14.
Un satélite de 250 kg de masa está en órbita circular entorno a la
Tierra a una altura sobre la superficie de 500 km. Calcula:
a.
Su velocidad y periodo de revolución.
b.
La energía necesaria para poner el satélite en órbita con esa
velocidad.
G 6,67 · 10–11 N m2 kg–2; RT 6 370 km; MT 5,98 · 1024 kg
Solución:
a.
Al estar el satélite en una órbita circular alrededor de la Tierra
estará sometido a la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra
sobre él. Por otro lado sabemos que todo cuerpo que describe una
trayectoria circular está sometido a una fuerza centrípeta: Fc

Siendo Ro el radio de la órbita.
Si sobre el satélite solamente actúa la fuerza gravitatoria quiere
decir que esta fuerza coincide con la fuerza centrípeta: Fg Fc

Siendo Ro RT + 500 km
De esta igualdad deducimos la velocidad de revolución del satélite:

Como el movimiento del satélite es circular uniforme, el periodo será:

b.
La energía que hemos de comunicar al satélite será la diferencia
entre la energía que el satélite tenía al principio y la energía
que tiene al final en la órbita.
Al principio el satélite tiene la energía potencial:

En la órbita tiene energía cinética y potencial:

Por consiguiente, la energía que debemos suministrar será:

6,67·10–11 N m2 kg–2 · 5,98·1024 kg · 250 kg · 8,4·109 J
14.
Calcula la velocidad de escape en la superficie terrestre con un
valor de g 9,81 m s–2, siendo el radio de la Tierra R 6 366
km. ¿Cuál sería la velocidad de escape en otro planeta de igual
densidad que la Tierra y de radio la mitad?
Solución:
La velocidad de escape es aquella que permite a un cuerpo abandonar el
campo gravitatorio en que se encuentra.
Para hallar esta velocidad aplicamos el principio de conservación de
la energía mecánica, puesto que el movimiento se realiza en un campo
conservativo:
Eo Ef
siendo Eo la energía mecánica del cuerpo en la superficie de la
Tierra, y Ef fuera del campo (teóricamente en el infinito, en donde la
energía mecánica es cero).

Teniendo en cuenta el valor de la gravedad:

se deduce que: G MT R2 g
de donde: ve2 R g
y
*
Si queremos aplicar la misma expresión para hallar la velocidad de
escape en otro planeta deberemos hallar la gravedad en dicho
planeta. Para ello empleamos el dato de las densidades:

Igualando las densidades de la Tierra y del planeta tenemos:
MT 8 MP
Por tanto la masa del planeta es 8 veces menor que la masa de la
Tierra. Y el valor de la gravedad del planeta será:

La velocidad de escape en ese planeta será:

Es decir, la mitad de la velocidad de escape terrestre:
ve · 1,118·104 m/s 5 590 m/s.
14.
Calcula el radio de la órbita circular de un satélite terrestre
para que su velocidad coincida con la velocidad angular de
rotación de la Tierra.
G 6,672 · 10–11 N m2 kg–2; MT 5,99 · 1024 kg
Solución:
Como el satélite tiene movimiento circular uniforme, la fuerza
centrípeta que lo mantiene en órbita es la fuerza gravitatoria que la
Tierra ejerce sobre él. Es decir, se cumple:

y teniendo en cuenta que v  R, podemos escribir:

de donde:

La velocidad del satélite, según el enunciado, coincide con la
velocidad de rotación de la Tierra que vale:

Sustituyendo este valor en la ecuación anterior tenemos que: R
4,23·107 m.
14.
Una partícula se mueve por la acción de una fuerza gravitatoria
central y describe una circunferencia con velocidad angular
constante. ¿Realiza trabajo la fuerza centrípeta? Teniendo en
cuenta que su velocidad lineal cambia continuamente de dirección,
representa gráficamente la energía cinética de la partícula en
función del tiempo.
Solución:
*
Una fuerza gravitatoria central es conservativa, por tanto, no
realiza trabajo a lo largo de cualquier órbita cerrada. Además, la
fuerza centrípeta tiene la dirección del radio de la
circunferencia; por consiguiente, es perpendicular en todo
momento, al desplazamiento siendo el trabajo nulo.
*
La energía cinética es una magnitud escalar; por tanto, no depende
de la dirección de la velocidad de la partícula. Si el módulo de
la velocidad es constante, como ocurre en nuestro caso, la energía
cinética también lo es.
El que la energía cinética sea constante es una consecuencia de que el
trabajo realizado sea cero. No olvidemos que el teorema de la energía
cinética dice que el trabajo realizado por una fuerza es igual a la
variación de la energía cinética.